4.1. 微分法則#
4.1.1. 積の微分法則#
Theorem 4.1.1.1 (Leibniz 則)
関数 \(f(z),g(z)\) の積の導関数は、
\[(f(z) g(z))' = f'(z) g(z) + f(z) g'(z)\]
4.1.2. 合成関数の高階微分#
4.1.2.1. Bell 多項式#
Definition 4.1.2.1 (Bell 多項式)
非負整数 \(n,k\,(\leq n)\) について、Bell 多項式 \(B_{n,k}\) を、
\[B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1}) \triangleq \sum \frac{n!}{\prod_{i=1}^{n-k+1} j_i!}
\prod_{i=1}^{n-k+1} \qty( \frac{x_i}{i!} )^{j_i}\]
と定義する。ただし、
\[\begin{split}\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{align}
&\sum_{i=1}^{n-k+1} j_i = k \\
&\sum_{i=1}^{n-k+1} i j_i = n
\end{empheq}\end{split}\]
の非負整数の解 \((j_1,j_2,\dots,j_{n-k+1})\) 全体にわたって和をとる。
Definition 4.1.2.2 (完全 Bell 多項式)
非負整数 \(n\) について、\(n\) 次完全 Bell 多項式 \(B_n\) を、
\[B_n(x_1,x_2\dots,x_n) \triangleq \sum_{k=0}^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})\]
と定義する。
Property 4.1.2.1
Bell 多項式の引数が等比数列との積になっているとき、Definition 4.1.2.1 より、
\[B_{n,k}(ab x_1,ab^2 x_2,\dots,ab^{n-k+1} x_{n-k+1})
= a^k b^n B_{n,k}(x_1,x_2,\dots,x_{n-k+1})\]
が成り立つ。
Property 4.1.2.2
完全 Bell 多項式の引数が等比数列との積になっているとき、Property 4.1.2.1 より、
\[B_n(b x_1,b^2 x_2,\dots,b^n x_n) = b^n B_n(x_1,x_2\dots,x_n)\]
が成り立つ。
4.1.2.2. Faà di Bruno の公式#
Theorem 4.1.2.1 (Faà di Bruno の公式)
適当な複数回微分可能な関数 \(f(z),g(z)\) について、\(f(g(z))\) の \(n\) 階導関数は Bell 多項式 を用いて、
\[\dv[n]{z} f(g(z)) = \sum_{k=0}^n f^{(k)}(g(z))
B_{n,k}( g'(z),g''(z),\dots,g^{(n-k+1)}(z) )\]
と表せる[4]。
Corollary 4.1.2.1
とくに \(f(z) \triangleq e^z\) のとき、\(f(g(z)) = e^{g(z)}\) の \(n\) 階導関数は 完全 Bell 多項式 を用いて、
\[\begin{split}\begin{align}
\dv[n]{z} e^{g(z)}
&= \sum_{k=0}^n e^{g(z)} B_{n,k}( g'(z),g''(z),\dots,g^{(n-k+1)}(z) ) \\
&= e^{g(z)} B_n( g'(z),g''(z),\dots,g^{(n)}(z) )
\end{align}\end{split}\]
と表せる。
参考文献