3.3. 応用#
3.3.1. n 倍角の公式#
Theorem 3.3.1.1 (余接関数の n 倍角の公式)
整数 \(n \neq 0\) について、
\[\cot nt = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{\abs{n}-1} \cot ( t \pm \frac{k}{n} \pi )\]
が成り立つ。
Proof. Euler の公式より、
\[\begin{split}\begin{align}
\cot t
&= \frac{\cos t}{\sin t} \\
&= \frac{e^{it} + e^{-it}}{2} \frac{2i}{e^{it} - e^{-it}} \\
&= i \frac{e^{i 2t} + 1}{e^{i 2t} - 1} \\
&= i \qty[ 1 + \frac{2}{e^{i 2t} - 1} ]
\end{align}\end{split}\]
と表せる。このとき、正の整数 \(K\) について、
\[\cot Kt = i \qty[ 1 + \frac{2}{e^{i 2Kt} - 1} ]\]
となり、1 の冪根と部分分数分解の公式 より、
\[\begin{split}\begin{align}
\cot Kt
&= i \qty[ 1 + \frac{2}{(e^{i 2t})^K - 1} ] \\
&= i \qty[ 1 + \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \frac{2 \zeta_K^k}{e^{i 2t} - \zeta_K^k} ] \\
&= \frac{i}{K} \qty[ K + \sum_{k=0}^{K-1} \frac{2}{e^{i 2t} \zeta_K^{-k} - 1} ] \\
&= \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} i \qty[ 1 + \frac{2}{e^{i 2t} \zeta_K^{-k} - 1} ] \\
&= \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} i \qty[ 1 + \frac{2}{e^{i 2(t - k \pi/K)} - 1} ] \\
&= \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \cot (t - \frac{k}{K} \pi)
\end{align}\end{split}\]
が成り立つ。さらに \(t\) を \(-t\) に置き換え、両辺に \(-1\) を掛けると、
\[-\cot (-Kt) = -\frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \cot (-t - \frac{k}{K} \pi)\]
となり、\(\cot\) が奇関数であることに注意すると、
\[\cot Kt = \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \cot (t + \frac{k}{K} \pi)\]
となる。以上の議論より、
(3.3.1.1)#\[\cot Kt = \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \cot (t \pm \frac{k}{K} \pi)\]
が成り立つ。
さらに、負の整数 \(n\) について、(3.3.1.1) において \(K \triangleq -n\) とすることにより、\(\cot\) が奇関数であることにふたたび注意すると、
(3.3.1.2)#\[\begin{split}\begin{align}
\cot nt
&= -\cot Kt \\
&= -\frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \cot (t \pm \frac{k}{K} \pi) \\
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{-n-1} \cot (t \mp \frac{k}{n} \pi)
\end{align}\end{split}\]
が成り立つ。
蛇足ながら、さらに発展させることで正弦関数の n 倍角の公式が導かれる。
Theorem 3.3.1.2 (正弦関数の n 倍角の公式)
正の整数 \(n\) について、
\[\sin nt = 2^{n-1} \prod_{k=0}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi )\]
が成り立つ。
Proof. Theorem 3.3.1.1 より、正の整数 \(n\) について、
\[\cot nt = \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \cot ( t + \frac{k}{n} \pi )\]
が成り立つから、この両辺の不定積分をとると、\(C\) を定数として、
\[\begin{split}\begin{align}
\frac{1}{n} \log( C \sin nt)
&= \frac{1}{n} \sum_{k=0}^{n-1} \log \qty[ \sin ( t + \frac{k}{n} \pi ) ] \\
&= \frac{1}{n} \log \prod_{k=0}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi )
\end{align}\end{split}\]
と表せる。ゆえに、真数を比較することにより、
(3.3.1.3)#\[C \sin nt = \prod_{k=0}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi )\]
と表されることがわかり、これを満たす \(C\) を求めればよい。
(3.3.1.3) の両辺を微分すると、
\[\begin{split}\begin{align}
Cn \cos nt
&= \dv{t} \sin t \prod_{k=1}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi ) \\
&= \cos t \prod_{k=1}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi ) + \sin t \dv{t} \prod_{k=1}^{n-1} \sin ( t + \frac{k}{n} \pi )
\end{align}\end{split}\]
であるから、(3.3.1.3) の両辺について \(t = 0\) における微分係数は、
\[\begin{split}\begin{align}
Cn
&= \prod_{k=1}^{n-1} \sin \frac{k}{n} \pi \\
&= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{ e^{i k \pi/ n} - e^{-i k \pi/ n} }{2i} \\
&= \prod_{k=1}^{n-1} \frac{i}{2} ( e^{-i k \pi/ n} - e^{i k \pi/ n} ) \\
&= \frac{i^{n-1}}{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1} e^{-i k \pi/ n} (1-e^{i 2 \pi k/n}) \\
&= \frac{(e^{i \pi/ 2})^{n-1}}{2^{n-1}} (e^{-i \pi/ n})^{n(n-1)/2} \prod_{k=1}^{n-1} (1-e^{i 2 \pi k/n}) \\
&= \frac{1}{2^{n-1}} \prod_{k=1}^{n-1} (1-e^{i 2 \pi k/n})
\end{align}\end{split}\]
である。ここで、1 の冪根に関する積の性質 より、
\[C = \frac{1}{2^{n-1}}\]
となるから、(3.3.1.3) より、示された。