Theorem 2.2.1.1 (一般化された Melzak の公式)
複素数 \(w,z\) と非負整数 \(K\)、正の整数 \(N\) と高々 \(N(K+1)-1\) 次の多項式 \(P(z)\) について、
\[P(z+w) \prod_{k=0}^K \frac{1}{(z+k)^N} = \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^N \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z+k)^n}\]
が成り立つ。ここで、
(2.2.1)\[a_k^{\langle n \rangle} \triangleq \frac{C_{K,k}^N}{(N-n)!} \sum_{\nu=0}^{N-n} \binom{N-n}{\nu} P^{(N-n-\nu)} (w-k)
B_\nu \qty(
0! N \bar{H}_{K,k}^{(1)},1! N \bar{H}_{K,k}^{(2)},\dots,
(\nu-1)! N \bar{H}_{K,k}^{(\nu)})\]
であり、\(\binom{N-n}{\nu}\) は二項係数であり、
\[C_{K,k} \triangleq \frac{(-1)^k}{K!} \binom{K}{k}\]
と定義する。また、\(B_\nu\) は \(\nu\) 次 完全 Bell 多項式 である。
\(H_k^{(\nu)}\) は \(k\) 番目の \(\nu\) 次一般化調和数、すなわち、
\[H_k^{(\nu)} \triangleq \sum_{i=1}^k \frac{1}{i^\nu}\]
と定義したうえで \(\bar{H}_{K,k}^{(\nu)}\) を、
\[\bar{H}_{K,k}^{(\nu)} \triangleq H_k^{(\nu)} + (-1)^\nu H_{K-k}^{(\nu)}\]
と定義する。
Proof. 左辺は、\(z\) について分母が \(N(K+1)\) 次で分子が高々 \(N(K+1)-1\) 次であり、Theorem 1.1.1 より、
\[P(z+w) \prod_{k=0}^K \frac{1}{(z+k)^N} = \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^N \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z+k)^n}\]
と部分分数分解できる。
Heaviside の方法 より、\(k=h,n=m\) のときの \(1/(z+h)^m\) の係数 \(a_h^{\langle m \rangle}\) は、
(2.2.1.1)\[a_h^{\langle m \rangle} = \frac{1}{(N-m)!} \eval{ \dv[N-m]{z} P(z+w) \qty[ (z+h) \prod_{k=0}^K \frac{1}{z+k} ]^N }_{z=-h}\]
と表せることがわかる。
ここで、
\[f(z) \triangleq (z+h) \prod_{k=0}^K \frac{1}{z+k}\]
と定義すると、(2.2.1.1) は 一般の Leibniz 則 により、
(2.2.1.2)\[\begin{split}\begin{align}
a_h^{\langle m \rangle}
&= \frac{1}{(N-m)!} \eval{ \dv[N-m]{z} P(z+w) (f(z))^N }_{z=-h} \\
&= \frac{1}{(N-m)!} \sum_{\nu=0}^{N-m} \binom{N-m}{\nu} {P^{(N-m-\nu)} (w-h)} \eval{ [(f(z))^N]^{(\nu)} }_{z=-h}
\end{align}\end{split}\]
と書き直すことができる。
いま、
\[g(z) \triangleq N \log f(z)\]
と定義すると、
\[\begin{split}\begin{align}
e^{g(z)}
&= e^{N \log f(z)} \\
&= (f(z))^N
\end{align}\end{split}\]
であり、Faà di Bruno の公式の系 より、
\[[(f(z))^N]^{(\nu)} = (f(z))^N B_\nu \qty(g'(z),g''(z),\dots,g^{(\nu)}(z))\]
が成り立つから、(2.2.1.2) は、
(2.2.1.3)\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{(f(-h))^N}{(N-m)!} \sum_{\nu=0}^{N-m} \binom{N-m}{\nu} {P^{(N-m-\nu)} (w-h)}
B_\nu \qty(g'(-h),g''(-h),\dots,g^{(\nu)}(-h))\]
となる。
さらに、調和数列の積の部分分数分解の場合 (2.1.1.1) と同様に、
\[\begin{split}\begin{align}
f(-h)
&= \eval{ (z+h) \prod_{k=0}^K \frac{1}{z+k} }_{z=-h} \\
&= \frac{1}{K!} (-1)^h \binom{K}{h} \\
&= C_{K,k}
\end{align}\end{split}\]
であるから、(2.2.1.3) は、
(2.2.1.4)\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{C_{K,k}^N}{(N-m)!} \sum_{\nu=0}^{N-m} \binom{N-m}{\nu} {P^{(N-m-\nu)} (w-h)}
B_\nu \qty(g'(-h),g''(-h),\dots,g^{(\nu)}(-h))\]
となる。
また、\(\nu>0\) について、\(\log f(z)\) の \(\nu\) 階導関数は、
\[\begin{split}\begin{align}
\dv[\nu]{z} \log f(z)
&= \dv[\nu]{z} \log \prod_{k=0,k \neq h}^K \frac{1}{z+k} \\
&= \dv[\nu]{z} \sum_{k=0,k \neq h}^K \log \frac{1}{z+k} \\
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \sum_{k=0,k \neq h}^K \frac{1}{(z+k)^\nu}
\end{align}\end{split}\]
となるから、\(\log f(z)\) の \(z=-h\) における \(\nu\) 階微分係数は、
\[\begin{split}\begin{align}
\dv[\nu]{\log f}{z} (-h)
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \sum_{k=0,k \neq h}^K \frac{1}{(k-h)^\nu} \\
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \qty[ \sum_{k=0}^{h-1} \frac{1}{(k-h)^\nu} + \sum_{k=h+1}^K \frac{1}{(k-h)^\nu} ] \\
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \qty[ \sum_{k=-h}^{-1} \frac{1}{k^\nu} + \sum_{k=1}^{K-h} \frac{1}{k^\nu} ] \\
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \qty[ \sum_{k=1}^h \frac{(-1)^\nu}{k^\nu} + \sum_{k=1}^{K-h} \frac{1}{k^\nu} ] \\
&= (\nu-1)! \qty[ \sum_{k=1}^h \frac{1}{k^\nu} + (-1)^\nu\sum_{k=1}^{K-h} \frac{1}{k^\nu} ] \\
&= (\nu-1)! \qty[ H_h^{(\nu)} + (-1)^\nu H_{K-k}^{(\nu)} ] \\
&= (\nu-1)! \bar{H}_{K,h}^{(\nu)}
\end{align}\end{split}\]
となり、
\[g^{(\nu)} (-h) = (\nu-1)! N \bar{H}_{K,h}^{(\nu)}\]
であるから、
(2.2.1.4) は、
\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{C_{K,h}^N}{(N-m)!} \sum_{\nu=0}^{N-m} \binom{N-m}{\nu} {P^{(N-m-\nu)} (w-h)}
B_\nu \qty( 0! N \bar{H}_{K,h}^{(1)},1! N \bar{H}_{K,h}^{(2)},\dots,(\nu-1)! N \bar{H}_{K,h}^{(\nu)})\]
となるがゆえ、示された。