2.3. 応用#
2.3.1. 二項係数の逆数の部分分数分解#
Definition 2.3.1.1 (一般二項係数)
複素数 \(z\) と非負整数 \(K\) について、一般二項係数 \(\binom{z}{K}\) を、
\[\begin{split}\begin{align}
\binom{z}{K}
&\triangleq \frac{z (z-1) \cdots (z-K+1)}{K!} \\
&= \frac{1}{K!} \prod_{k=0}^{K-1} (z-k)
\end{align}\end{split}\]
と定義する。
Tip
\(z\) が \(K\) 以上の整数であれば通常の二項係数と同じである。
Example 2.3.1.1
Property 2.1.3.1 より、
\[\begin{split}\begin{align}
\frac{1}{\binom{z}{K}}
&= K! \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{z-k} \\
&= K! \cdot \frac{1}{(K-1)! (-1)^{K-1}} \sum_{k=0}^{K-1} (-1)^k \binom{K-1}{k} \frac{1}{z-k} \\
&= K! \cdot \frac{1}{(K-1)! (-1)^{K-1}} \sum_{k=0}^{K-1} (-1)^k \frac{(K-1)!}{k! ((K-1)-k)!} \cdot \frac{1}{z-k} \\
&= \sum_{k=0}^{K-1} (-1)^{K+k-1} \frac{K!}{k! (K-k)!} \cdot \frac{K-k}{z-k} \\
&= \sum_{k=0}^{K-1} (-1)^{K-1-k} \binom{K}{k} \frac{K-k}{z-k}
\end{align}\end{split}\]
となる。
Example 2.3.1.2
Example 2.3.1.1 において \(z\) を改めて \(z+K\) とおくと、
\[\begin{split}\begin{align}
\frac{1}{\binom{z+K}{K}}
&= \sum_{k=0}^{K-1} (-1)^{K-1-k} \binom{K}{k} \frac{K-k}{z+K-k} \\
&= \sum_{k=-K}^{-1} (-1)^{-k-1} \binom{K}{K+k} \frac{-k}{z-k} \\
&= \sum_{k=1}^K (-1)^{k-1} \binom{K}{K-k} \frac{k}{z+k} \\
&= \sum_{k=1}^K (-1)^{k-1} \binom{K}{k} \frac{k}{z+k} \\
\end{align}\end{split}\]
となる。
2.3.2. 等差数列が分母・分子に交互に来る積の部分分数分解#
Example 2.3.2.1
複素数 \(z\) と非負整数 \(K\) について、
\[\prod_{k=0}^{2K} (z+k)^{(-1)^{k+1}}
= \qty[ \prod_{k=0}^{K-1} (z+2k+1) ] \qty[ \prod_{k=0}^K \frac{1}{z+2k} ]\]
の部分分数分解を考える。
まず、
\[P(z) \triangleq \prod_{i=0}^{K-1} (z+2i+1)\]
と定義すると、
\[\begin{split}\begin{align}
P(-2k)
&= \prod_{i=0}^{K-1} (-2k+2i+1) \\
&= \prod_{i=-k+1}^{K-k} (2i-1) \\
&= \qty[ \prod_{i=-k+1}^0 (2i-1) ] \qty[\prod_{i=1}^{K-k} (2i-1) ] \\
&= \qty[ \prod_{i=0}^{k-1} (-2i-1) ] \qty[\prod_{i=1}^{K-k} (2i-1) ] \\
&= \qty[ (-1)^k \prod_{i=0}^{k-1} (2i+1) ] \qty[\prod_{i=1}^{K-k} (2i-1) ] \\
&= (-1)^k (2k-1)!! (2(K-k)-1)!! \\
&= (-1)^k \frac{(2k)!}{2^k k!} \cdot \frac{(2(K-k))!}{2^{K-k} (K-k)!} \\
&= (-1)^k \frac{(2k)!(2(K-k))!}{2^K k!(K-k)!}
\end{align}\end{split}\]
となり、
\[\begin{split}\begin{align}
\frac{1}{K! 2^K} (-1)^k \binom{K}{k} P(-2k)
&= \frac{1}{K! 2^K} (-1)^k \binom{K}{k} \cdot (-1)^k \frac{(2k)!(2(K-k))!}{2^K k!(K-k)!} \\
&= \frac{1}{K!} \cdot \frac{K!}{k!(K-k)!} \cdot \frac{(2k)!(2(K-k))!}{2^K k!(K-k)!} \\
&= \frac{1}{4^K} \cdot \frac{(2k)!}{(k!)^2} \cdot \frac{(2(K-k))!}{((K-k)!)^2} \\
&= \frac{1}{4^K} \binom{2k}{k} \binom{2(K-k)}{K-k}
\end{align}\end{split}\]
であるから、Property 2.1.3.1 より、
\[\begin{split}\begin{align}
P(z) \prod_{k=0}^K \frac{1}{z+2k}
&= \frac{1}{K!2^K} \sum_{k=0}^K (-1)^k \binom{K}{k} \frac{P(-2k)}{z+2k} \\
&= \sum_{k=0}^K \frac{1}{4^K} \binom{2k}{k} \binom{2(K-k)}{K-k} \frac{1}{z+2k}
\end{align}\end{split}\]
となり、すなわち、
\[\prod_{k=0}^{2K} (z+k)^{(-1)^{k+1}} = \frac{1}{4^K} \sum_{k=0}^K \binom{2k}{k} \binom{2(K-k)}{K-k} \frac{1}{z+2k}\]
となる。
2.3.3. 調和数列と不等式#
Example 2.3.3.1
\(x > 1\) のとき、\(x+1 > x > x-1 > 0\) ゆえ、
\[\frac{1}{(x-1)x(x+1)} > 0\]
である。ここで、Example 2.1.3.1 より、
\[\frac{1}{(x-1)x(x+1)} = \frac{1}{2} \qty( \frac{1}{x-1} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} )\]
と部分分数分解できるから、
\[\frac{1}{x-1} - \frac{2}{x} + \frac{1}{x+1} > 0\]
が成り立ち、すなわち、
\[\frac{1}{x-1} + \frac{1}{x} + \frac{1}{x+1} > \frac{3}{x}\]
参考文献