Proof. 左辺は、\(z\) について分母が \(NK\) 次で分子が \(0\) 次であり、Theorem 1.1.1 より、
\[\frac{1}{(z^K-1)^N} = \sum_{k=0}^{K-1} \sum_{n=1}^N \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-\zeta_K^k)^n}\]
と部分分数分解できる。
Heaviside の方法 より、\(k=h,n=m\) のときの \(1/(z-\zeta_K^h)^m\) の係数 \(a_h^{\langle m \rangle}\) は、
(3.2.1.1)\[\begin{split}\begin{align}
a_h^{\langle m \rangle}
&= \frac{1}{(N-m)!} \eval{ \dv[N-m]{z} \qty[ (z-\zeta_K^h) \frac{1}{z^K-1} ]^N }_{z=\zeta_K^h} \\
&= \frac{1}{(N-m)!} \eval{ \dv[N-m]{z} \qty[ \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} ]^N }_{z=\zeta_K^h}
\end{align}\end{split}\]
と表せることがわかる。
ここで、
\[\begin{split}\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{align}
f(z) &\triangleq \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} \\
g(z) &\triangleq N \log f(z)
\end{empheq}\end{split}\]
と定義すると、
\[\begin{split}\begin{align}
e^{g(z)}
&= e^{N \log f(z)} \\
&= (f(z))^N
\end{align}\end{split}\]
であり、Faà di Bruno の公式の系 より、
\[[(f(z))^N]^{(N-m)} = (f(z))^N B_{N-m} \qty(g'(z),g''(z),\dots,g^{(N-m)}(z))\]
が成り立つから、(3.2.1.1) は、
(3.2.1.2)\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{(f(\zeta_K^h))^N}{(N-m)!} B_{N-m} \qty(g' (\zeta_K^h),g'' (\zeta_K^h),\dots,g^{(N-m)} (\zeta_K^h))\]
となる。
さらに、1 の冪根と部分分数分解の場合 (3.1.1.1) と同様に、
\[\begin{split}\begin{align}
f(\zeta_K^h)
&= \eval{ \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} }_{z=\zeta_K^h} \\
&= \frac{\zeta_K^h}{K}
\end{align}\end{split}\]
であるから、(3.2.1.2) は、
(3.2.1.3)\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{1}{(N-m)!} \frac{\zeta_K^{Nh}}{K^N} B_{N-m} \qty(g' (\zeta_K^h),g'' (\zeta_K^h),\dots,g^{(N-m)} (\zeta_K^h))\]
となる。
また、\(\nu>0\) について、\(\log f(z)\) の \(\nu\) 階導関数は、
\[\begin{split}\begin{align}
\dv[\nu]{z} \log f(z)
&= \dv[\nu]{z} \log \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} \\
&= \dv[\nu]{z} \sum_{k=1}^{K-1} \log \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} \\
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \sum_{k=1}^{K-1} \frac{1}{(z-\zeta_K^{k+h})^\nu}
\end{align}\end{split}\]
となるから、\(\log f(z)\) の \(z=\zeta_K^h\) における \(\nu\) 階微分係数は、
\[\begin{split}\begin{align}
\dv[\nu]{\log f}{z} (\zeta_K^h)
&= (-1)^\nu (\nu-1)! \sum_{k=1}^{K-1} \frac{1}{(\zeta_K^h-\zeta_K^{k+h})^\nu} \\
&= (-\zeta_K^{-h})^\nu (\nu-1)! \sum_{k=1}^{K-1} \frac{1}{(1-\zeta_K^k)^\nu} \\
&= (-\zeta_K^{-h})^\nu (\nu-1)! S_{K,\nu}
\end{align}\end{split}\]
となり、
\[g^{(\nu)} (\zeta_K^{-h}) = (-\zeta_K^{-h})^\nu (\nu-1)! N S_{K,\nu}\]
であるから、(3.2.1.3) は、
(3.2.1.4)\[a_h^{\langle m \rangle}
= \frac{1}{(N-m)!} \frac{\zeta_K^{Nh}}{K^N} B_{N-m} \qty(0!(-\zeta_K^{-h}) N S_{K,1},1!(-\zeta_K^{-h})^2 N S_{K,2},\dots,(N-m-1)!(-\zeta_K^{-h})^{N-m} N S_{K,N-m})\]
となる。完全 Bell 多項式の引数が等比数列との積になっているときの性質 より、(3.2.1.4) は、
\[\begin{split}\begin{align}
a_h^{\langle m \rangle}
&= \frac{1}{(N-m)!} \frac{\zeta_K^{Nh}}{K^N} (-\zeta_K^{-h})^{N-m} B_{N-m} (0! N S_{K,1},1! N S_{K,2},\dots,(N-m-1)! N S_{K,N-m}) \\
&= \frac{(-1)^{N-m}}{(N-m)!} \frac{\zeta_K^{mh}}{K^N} B_{N-m} (0! N S_{K,1},1! N S_{K,2},\dots,(N-m-1)! N S_{K,N-m}) \\
\end{align}\end{split}\]
となるがゆえ、示された。