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部分分数分解の基本

1. 部分分数分解の基本#

1.1. 原理#

Theorem 1.1.1 (有理関数の部分分数分解)

複素数係数の多項式 \(P(z),Q(z)\) があり、それぞれの次数は \(\deg P < \deg Q\) を満たし、\(Q(z)\) は相異なる \(z_0,\dots,z_K\) のもと、

\[Q(z) \triangleq \prod_{k=0}^K (z-z_k)^{N_k}\]

と因数分解できるものとする。ただし、次数 \(N_k\) は正の整数である。

このとき、有理関数 \(P(z)/Q(z)\) について、

(1.1)#\[\frac{P(z)}{Q(z)} = \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n}\]

となる複素数 \(a_k^{\langle n \rangle}\) が存在する[1][2]。

Tip

一般に、\(\deg P \geq \deg Q\) の場合も、多項式の除算により、

\[P(z) = q(z) Q(z) + r(z), \quad \deg r < \deg Q\]

を満たす多項式 \(q(z),r(z)\) が一意に存在することから、

\[\frac{P(z)}{Q(z)} = q(z) + \frac{r(z)}{Q(z)}\]

と表すことにより、Theorem 1.1.1 で扱うことのできる \(r(z)/Q(z)\) の部分分数分解に還元できる。

1.2. 公式#

Theorem 1.2.1 (Heaviside の方法)

(1.1) における \(a_k^{\langle n \rangle}\) は、

\[a_k^{\langle n \rangle} = \frac{1}{(N_k-n)!} \eval{ \dv[N_k-n]{z} (z-z_k)^{N_k} \frac{P(z)}{Q(z)} }_{z=z_k}\]

と表される[2]。

注釈

Heaviside の目隠し法 (cover-up method) などとも呼ばれる。

Proof. \(k=h,n=m\) であるときの \(1/(z-z_h)^m\) の係数 \(a_h^{\langle m \rangle}\) を求める。

(1.1) の両辺に \((z-z_h)^{N_h}\) を掛け、さらに \(z=z_h\) における \(N_h-m\) 階微分係数を求めても等式は成り立つ。すなわち、

(1.2.1)#\[\eval{ \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \frac{P(z)}{Q(z)} }_{z=z_h} = \eval{ \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} }_{z=z_h}\]

となる。

(1.2.1) の右辺について、

\[\begin{split}\begin{align} &\phantom{{}={}} \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} \\ &= \dv[N_h-m]{z} \qty[ (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0,k \neq h}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} + \sum_{n=1}^{N_h} a_h^{\langle n \rangle} (z-z_h)^{N_h-n} ] \\ &= \dv[N_h-m]{z} \qty[ (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0,k \neq h}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} + \sum_{n=1,n \neq m}^{N_h} a_h^{\langle n \rangle} (z-z_h)^{N_h-n} + a_h^{\langle m \rangle} (z-z_h)^{N_h-m} ] \\ &= a_h^{\langle m \rangle} \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h-m} + \dv[N_h-m]{z} \qty[ (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0,k \neq h}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} + \sum_{n=1}^{m-1} a_h^{\langle n \rangle} (z-z_h)^{N_h-n} ] \\ &= a_h^{\langle m \rangle} (N_h-m)! + \dv[N_h-m]{z} \qty[ (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0,k \neq h}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} + \sum_{n=1}^{m-1} a_h^{\langle n \rangle} (z-z_h)^{N_h-n} ] \end{align}\end{split}\]

であるが、この被微分関数は \((z-z_h)^{N_h-m+1}\) を因数に持ち、一般の Leibniz 則 より \(N_h-m\) 階微分によって分子に \(z-z_h\) が因数として残るから、

\[\eval{ \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \sum_{k=0}^K \sum_{n=1}^{N_k} \frac{ a_k^{\langle n \rangle} }{(z-z_k)^n} }_{z=z_h} = a_h^{\langle m \rangle} (N_h-m)!\]

となる。ゆえに (1.2.1) より、

\[\eval{ \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \frac{P(z)}{Q(z)} }_{z=z_h} = a_h^{\langle m \rangle} (N_h-m)!\]

であるから、

\[a_h^{\langle m \rangle} = \frac{1}{(N_h-m)!} \eval{ \dv[N_h-m]{z} (z-z_h)^{N_h} \frac{P(z)}{Q(z)} }_{z=z_h}\]

となり、示された。

1.3. 例#

Example 1.3.1

\[\frac{x^2-3}{(x-1)(x+3)^2}\]

の部分分数分解を Heaviside の方法 を用いて行う。

\[\frac{x^2-3}{(x-1)(x+3)^2} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{(x+3)^2} + \frac{C}{x+3}\]

と部分分数分解でき、係数 \(A,B,C\) は、

\[\begin{split}\begin{empheq}[left=\empheqlbrace]{alignat=2} A &= &\eval{ \frac{x^2-3}{(x+3)^2} }_{x=1} &= -\frac{1}{8} \\ B &= &\eval{ \frac{x^2-3}{x-1} }_{x=-3} &= -\frac{3}{2}\\ C &= &\eval{ \dv{x} \frac{x^2-3}{x-1} }_{x=-3} &= \frac{9}{8} \end{empheq}\end{split}\]

と求められる。ゆえに、

\[\frac{x^2-3}{(x-1)(x+3)^2} = -\frac{1}{8(x-1)} - \frac{3}{2 (x+3)^2} + \frac{9}{8(x+3)}\]

となる。

参考文献

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