3.1. 1 の冪根に関する部分分数分解#
分母が \(z^K-1\) である有理関数の部分分数分解を考える。
3.1.1. 公式#
Theorem 3.1.1.1 (1 の冪根に関する部分分数分解)
複素数 \(z\) と正の整数 \(K\) と高々 \(K-1\) 次の多項式 \(P(z)\) について、
\[\frac{P(z)}{z^K-1} = \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \frac{P(\zeta_K^k) \zeta_K^k}{z-\zeta_K^k}\]
が成り立つ[1]。ここで、\(\zeta_K \triangleq e^{i 2 \pi /K}\) である。
Proof. 左辺は、\(z\) について分母が \(K\) 次で分子が高々 \(K-1\) 次であり、Theorem 1.1.1 より、
\[\frac{P(z)}{z^K-1} = \sum_{k=0}^{K-1} \frac{a_k}{z-\zeta_K^k}\]
と部分分数分解できる。
Heaviside の方法 より、\(k=h\) のときの \(1/(z-\zeta_K^h)\) の係数 \(a_h\) は、
\[\begin{split}\begin{align}
a_h
&= \eval{ (z-\zeta_K^h) P(z) \frac{1}{z^K-1} }_{z=\zeta_K^h} \\
&= \eval{ (z-\zeta_K^h) P(z) \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^k} }_{z=\zeta_K^h} \\
&= \eval{ (z-\zeta_K^h) P(z) \prod_{k=0}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} }_{z=\zeta_K^h} \\
&= \eval{ P(z) \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{z-\zeta_K^{k+h}} }_{z=\zeta_K^h} \\
&= P(\zeta_K^h) \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{\zeta_K^h-\zeta_K^{k+h}} \\
&= P(\zeta_K^h) (\zeta_K^{-h})^{K-1} \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{1-\zeta_K^k} \\
&= P(\zeta_K^h) \zeta_K^h \prod_{k=1}^{K-1} \frac{1}{1-\zeta_K^k}
\end{align}\end{split}\]
となり、1 の冪根に関する積の性質 より、
(3.1.1.1)#\[a_h = \frac{P(\zeta_K^h) \zeta_K^h}{K}\]
であるがゆえ、示された。
3.1.2. 系#
Corollary 3.1.2.1 (1 の冪根に関する部分分数分解の系)
とくに \(P(z) \triangleq 1\) としたとき、
\[\frac{1}{z^K-1} = \frac{1}{K} \sum_{k=0}^{K-1} \frac{\zeta_K^k}{z-\zeta_K^k}\]
が成り立つ。
参考文献